Jaakko on voittanut liput huvipuistoon itselleen ja kolmelle muulle, jotka hän valitsee arpomalla 12 ystävänsä joukosta.

a) Kuinka monella tavalla hän voi valita mukaan otettavat ystävät?
b) Mikä on todennäköisyys, että hänen ystävänsä Jukka pääsee mukaan?

Lyhyen matikan prelissä oli tuollainen tehtävä, enkä ole varma laskinko oikein. Miten tuo siis olisi pitänyt laskea?

a) kohtaan katso kombinaation kaava MAOL-taulukosta. Tais olla s. 50. Vastaus on joka tapauksessa 220.

b):n todennäköisyys lasketaan näin:

1/12 + 1/11 + 1/10 = 0,274... ~ 27,4 %

Eli tuossa lasketaan ensin todennäköisyys, että Jukka valitaan kahdentoista ystävän joukosta. Siihen lisätään todennäköisyys sille, että Jukka valitaan yhdentoista joukosta jos häntä ei heti valittu ja lopulta lisätään tod. näk. että hänet valitaan kymmenen joukosta jos hän ei vieläkään ollut mukana matkassa.

En lukenu yhtään tuohon, mutta ihan kohtalaisesti meni. Ois tullu tyydyttävä tulos jos oisin kerrannu vähän ja oisin muistanu pari pikkujuttua. Aika tylsä oli koe kyllä.

No jes. Tulipa tuostakin edes 3 pistettä.

Korkeammanasteen epäyhtälöissä yhtälöstä pitää ratkoa nollakohdat.
Kun ne on ratkottu ja pitäisi ruveta kikkailemaan merkkikaavion kanssa. Ongelmaksi on päässyt tulemaan se, että niin kovassa kirjoitusvauhdissa en pysynyt kärryillä siitä, miten merkkikaaviota pitäisi käyttää.

Tutkiskelin äsken ja yritin muistiinpanoista ja tuloksista huomata mitään yhteistä. Huomaan kyllä, että merkkikaaviosta voi saada jo kuvan siitä minkälainen paraabeli on kyseessä. Kuitenkin! Mihin perustuu se niiden plussien ja miinuksien merkkaaminen sinne? Tarkoitan, että mistä tiedetään mihin kohtaan tulee minuuns/plus -merkki? Pitääkö sinne ylösmerkittyjen nollakohtien olla järjestyksessa lukusuoran tapaan?

Ihan sellaisia yleispäteviä vinkkejä, joilla pääsen takaisin pulkan kyytiin ja saan ideasta kiinni.

Otetaan nollakohtien väliltä vapaavalintaisia lukuja, ja sijoitetaan ne funktioon, jolloin nähdään onko funktio sillä välillä positiivinen vai negatiivinen.

Esim. mikäli funktiolla olisi nollakohdat -2, 4 ja 6, lasketaan funktion arvot vaikka kohdissa -3, 0 ja 5. Mikäli funktio saa kohdassa 0 vaikkapa arvon 9, kuvaaja on positiivinen välillä [-2, 4] (olettaen että funktio on jatkuva samaisella välillä), sillä se ei voi vaihtaa muuttua positiivisesta negatiiviseksi saamatta jossain kohtaa arvoa 0. Eli siitä merkkikaavioon plussa välille [-2, 4].

Epäyhtälöissä sitten vaan muutetaan epäyhtälö muotoon, jossa toisella puolella on pelkkä 0, tehdään merkkikaavio ja katsotaan vastaus suoraan siitä.

Lainaus:05.02.2008 lto kirjoitti:
Otetaan nollakohtien väliltä vapaavalintaisia lukuja, ja sijoitetaan ne funktioon, jolloin nähdään onko funktio sillä välillä positiivinen vai negatiivinen.

Esim. mikäli funktiolla olisi nollakohdat -2, 4 ja 6, lasketaan funktion arvot vaikka kohdissa -3, 0 ja 5. Mikäli funktio saa kohdassa 0 vaikkapa arvon 9, kuvaaja on positiivinen välillä [0, 5] (olettaen että funktio on jatkuva samaisella välillä), sillä se ei voi vaihtaa muuttua positiivisesta negatiiviseksi saamatta jossain kohtaa arvoa 0. Eli siitä merkkikaavioon plussa välille [0, 5].

Epäyhtälöissä sitten vaan muutetaan epäyhtälö muotoon, jossa toisella puolella on pelkkä 0, tehdään merkkikaavio ja katsotaan vastaus suoraan siitä.

Tuosta saat tietää että funktio on positiivinen välillä [-2,4] ei [0,5]

Lainaus:05.02.2008 Junco_Partner kirjoitti:
Tuosta saat tietää että funktio on positiivinen välillä [-2,4] ei [0,5]

Heh, pääsipä harvinaisen tyhmä virhe pujahtamaan tekstiin, kiitos bongaamisesta.

E: Käsittämätön PP ei sadannenkaan yrityksen jälkeen hyväksy vastaustani x_x
Mutta en kyllä siis tiivistettynä menisi käyttämään satunnaisia numeroita epäyhtälön todistamisessa vaan tekisin kaavion näin:
tässä jos nyt pp hyväksyy
E(miljoonas kerta): Esimerkkilasku olisi siis x^3+5x^2-14x

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:
En menisi käyttämään satunnaisia arvoja tarkistaessani epäyhtälön toteutumista

Ei tässä ihan satunnaisista arvoista olla puhuttukaan.

Lainaus:Otetaan nollakohtien väliltä vapaavalintaisia lukuja, ja sijoitetaan ne funktioon, jolloin nähdään onko funktio sillä välillä positiivinen vai negatiivinen.

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:
tekisin kaavion näin:
tässä jos nyt pp hyväksyy
E: kaaviosta siis näkee melko selkeästi, että jos esimerkkilasku olisi x^3+5x^2-14

Sen voi tehdä noin tai sijoittelemalla alkuperäiseen polynomiin arvoja nollakohtien väliltä. Samma sak.
Eiku hetkinen. Sun polynomi pitäis olla muotoa x^3+5x^2 -14. Kuitenkin tuo tulo x(x^2+5x-14) = x^3+5x^2-14x eli ei oo sama polynomi mitä väitit

Lainaus:05.02.2008 Junco_Partner kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:
tekisin kaavion näin:
tässä jos nyt pp hyväksyy
E: kaaviosta siis näkee melko selkeästi, että jos esimerkkilasku olisi x^3+5x^2-14

Sen voi tehdä noin tai sijoittelemalla alkuperäiseen polynomiin arvoja nollakohtien väliltä. Samma sak.
Eiku hetkinen. Sun polynomi pitäis olla muotoa x^3+5x^2 -14. Kuitenkin tuo tuo tulo x(x^2+5x-14) = x^3+5x^2-14x eli ei oo sama polynomi mitä väitit

Siis tuo on tulonmuotoon kirjoitettu tuo x(x^2+5x-14), joka siis on sama kuin x^3+5x^2-14x, tein kirjoitusvirheen koska pp ei oikein suostunut hyväksymään vastauksiani, my mistake

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Junco_Partner kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:
tekisin kaavion näin:
tässä jos nyt pp hyväksyy
E: kaaviosta siis näkee melko selkeästi, että jos esimerkkilasku olisi x^3+5x^2-14

Sen voi tehdä noin tai sijoittelemalla alkuperäiseen polynomiin arvoja nollakohtien väliltä. Samma sak.
Eiku hetkinen. Sun polynomi pitäis olla muotoa x^3+5x^2 -14. Kuitenkin tuo tuo tulo x(x^2+5x-14) = x^3+5x^2-14x eli ei oo sama polynomi mitä väitit

Sitä kutsutaan tulonmuodoksi.

Mietippä vähän, tuossa sun esimerkissä pitäisi olla x 14:sta perässä, jotta se n saisi tuohon sun tulomuotoon.

Lainaus:05.02.2008 Junco_Partner kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Junco_Partner kirjoitti:

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:
tekisin kaavion näin:
tässä jos nyt pp hyväksyy
E: kaaviosta siis näkee melko selkeästi, että jos esimerkkilasku olisi x^3+5x^2-14

Sen voi tehdä noin tai sijoittelemalla alkuperäiseen polynomiin arvoja nollakohtien väliltä. Samma sak.
Eiku hetkinen. Sun polynomi pitäis olla muotoa x^3+5x^2 -14. Kuitenkin tuo tuo tulo x(x^2+5x-14) = x^3+5x^2-14x eli ei oo sama polynomi mitä väitit

Sitä kutsutaan tulonmuodoksi.

Mietippä vähän

Juu siis tuossa aiemmassa on kirjoitusvirhe, polynomin pitäisi olla x^3+5x^2-14x, mutta joo merkkikaavio siis ilmaisee varsin yksiselitteisesti ratkaisut, niin siksi suosisin sitä enemmän. Kirjoitusvirhe tuo siis, kun pp pisti vastaan.

Tuotaa... Kiitos vastauksista! heh heh.. =S
Yritän saada tuosta Ito:n viestistä selvää, mutta ei vain aukene.. Ajattelen joko liian vaikeasti tai sitten olen tyhmä..

Lainaus:05.02.2008 Fautum kirjoitti:

Juu siis tuossa aiemmassa on kirjoitusvirhe, polynomin pitäisi olla x^3+5x^2-14x, mutta joo merkkikaavio siis ilmaisee varsin yksiselitteisesti ratkaisut, niin siksi suosisin sitä enemmän. Kirjoitusvirhe tuo siis, kun pp pisti vastaan.

No niin... Ei siinä mitään, ei pidä jättää vaa tollasia ratkasevia virheitä kun ruetaan toisia neuvomaan.

Lainaus:05.02.2008 SealSquasher kirjoitti:
Tuotaa... Kiitos vastauksista! heh heh.. =S
Yritän saada tuosta Ito:n viestistä selvää, mutta ei vain aukene.. Ajattelen joko liian vaikeasti tai sitten olen tyhmä..

Laita jotain esimerkkiä mihin sulla leikkaa kiinni.

Lainaus:05.02.2008 SealSquasher kirjoitti:
Tuotaa... Kiitos vastauksista! heh heh.. =S
Yritän saada tuosta Ito:n viestistä selvää, mutta ei vain aukene.. Ajattelen joko liian vaikeasti tai sitten olen tyhmä..

Okei, yritetään selventää kuvalla;
http://www.imageox.com/image/174188-merkkikaav.png

Eli tuossa kun lasketaan funktion arvo pisteessä 1 (joka voi olla aivan mitä tahansa väliltä [a, b]), saadaan tietää onko funktiot kaikki arvot samaisella välillä positiivia vai negatiivisia. Arvon ollessa pisteessä 1 yli 0 funktion on siis pakko olla välillä [a, b] positiivinen, sillä funktio on jatkuva sillä välillä, eikä voi hypätä negatiiviseksi ennen pistettä b. Pisteessä 2 sama juttu, mutta arvo on negatiivinen, joten kuvaaja kulkee x-akselin alapuolella välillä [b,c], ja merkkikaavioon laitetaan miinus.



Jaa, tiedä nyt selvensikö lopulta paljoakaan :D

http://img98.imageshack.us/my.php?image=asdasxr1.jpg

E: ei ollukkaan kyse derivaatan tutkimisesta, sori. Ite ku en merkkikaavioita paljon muuhun käytä, ni tuli sit tollanen rustattua

Kömpelöa, mutta en osaa laittaa mitään kuvia nettiin.. Tekisin eBeam scrapmikälie ohjelmalla tai paintilla kuvat mistä minun pitää oppia, mutta koitan nyt tällä tavalla;

Suora lainaus muistiinpanoista;

*Tässä välissä epäyhtälö on muunnettu tulomuotoon ja laskettu nollakohdat*


Merkkikaavio

-7 0 2
X:___-___-___-__|__+__+__+__+__
X^2+5X-14:___-___|__+__+__+__+_|__-__-_
Tulo:___+__|__-__-_|__+__+_|__-__-_

V: X^3+5X^2< 14X ,kun X < -7 tai 0 < X < 2

Tämän tehtävän ratkaisin "Alleviivaamalla" tulo kohtien alapuolelta nuo plusmerkit lukusuora merkinnöillä (tjsp.)
Eli katsotaanko kaikki nuo vastaukset noista tulon plus- ja miinusmerkeistä? Otetaanko aina noista plusmerkeistä?


E: Noni. Perseeks meni.

Parabelissäsi taitaa olla merkit väärinpäin, mikäli nyt ymmärsin oikein tuon piirrustuksen. Funkito siis saa negatiivisia nollakohtien välillä, eli x^2+5x-14 pitäisi kirjoittaa mielestäni näin: _+_|_-_|_+_
E: Jonkinlaisen suuntaa-antavan kuvaajan piirtäminen on yleensä epäyhtälöissä suositeltavaa, kuten siinä esimerkkimerkkikaaviossa tein. Sen avulla oppii välttämään plussien ja miinusten väärinpäinmenot, mutta treenaaminen taitaa tässäkin nyt olla se lopullinen ratkaisu.

Lainaus:05.02.2008 Urokhtor kirjoitti:
b):n todennäköisyys lasketaan näin:

1/12 + 1/11 + 1/10 = 0,274... ~ 27,4 %

Eli tuossa lasketaan ensin todennäköisyys, että Jukka valitaan kahdentoista ystävän joukosta. Siihen lisätään todennäköisyys sille, että Jukka valitaan yhdentoista joukosta jos häntä ei heti valittu ja lopulta lisätään tod. näk. että hänet valitaan kymmenen joukosta jos hän ei vieläkään ollut mukana matkassa.

En lukenu yhtään tuohon, mutta ihan kohtalaisesti meni. Ois tullu tyydyttävä tulos jos oisin kerrannu vähän ja oisin muistanu pari pikkujuttua. Aika tylsä oli koe kyllä.

Oikea vastaus on 1/4. Tämän voit joko laskea päättelemällä suoraan, että totta kai todennäköisyys on 1/4, tai laskemalla vaikka a-kohdassa hyväksikäytettyä: (11 nCr 2) / (12 nCr 3) = 1/4 tai sitten vaikka sinun yrittämälläsi tavalla:
1/12 + 11/12*1/11 + 11/12*10/11*1/10 = 1/4.

Koska inhoan todennäköisyyslaskuja, koodasin vielä varmuudenvaralta ohjelman, joka todennäköisyyden laskee. Tulokseksi sain yhdellä ajolla, otoksella miljoona:
0.250428000000000

Okei kiitos korjauksesta. Itekki noita todennäköisyyslaskuja vihaan ja ei ihmekkään, että niissä virheitä tulee.

Miten voi todistaa että 1>0 ?

Lainaus:06.02.2008 Snuippa kirjoitti:
Miten voi todistaa että 1>0 ?

x^2 > 0 kaikille x != 0 (seuraa järjestetyn kunnan aksioomista). Nyt 1 = 1^2 > 0 (sillä kunta-aksioomien nojalla 1 != 0).

EDIT: Yllä puhuin kunnasta, koska oletin, että haluat muljautella reaaliluvuilla. Vastaava pätee tietenkin myös järjestetyissä renkaissa, jossa todistus on vastaavanlainen.

Tässä pähkinä (qA-:lle) purtavaksi:
ABCD on suunnikas, ja BCED nelikulmio, jonka kaikki kulmat sijaitsevat saman ympyrän kehällä. Suora l leikkaa pisteen A. Oletetaan, että suora l leikkaa segmentin DC pisteessä F ja suoran BC pisteessä G. Lisäksi EF = EG = EC. Osoita, että suora l puolittaa kulman DAB.