Mitä helv...

Miten lasken kosinilauseen avulla kolmion sivun X, jos se on hypotenuusa? Tiedän kateettien pituudet sekä niiden välisen kulman. Saisinko rautalankimallin esimerkkiluvuilla vaikkapa. Mitään esimerkkiä kirja ei tästä antanut... (kulman laskemisesta toki 5 erilaista...)

Kosinilausehan menee: a^2=b^2+c^2-2bc cosa

Jos tuo kysytty sivu olisi kateetti, sen voisi laittaa tuohon A:n paikalle jolloin osaisin laskea laskun. Mutta koska kysytty sivu on hypotenuusa, se on käsittääkseni pakko laittaa c:ksi (?).

@homer313: Jos pystyt kolmiosta löytämään kateetit ja hypotenuusan, niin sitten kyseessä on suorakulmainen kolmio. Muussa tapauksessa kolmiossa on kolme sivua eikä niillä yleensä ole sen kummempia nimiä. Kateettihan tarkoittaa suoran kulman viereisiä sivuja ja hypotenuusa sitä jäljelle jäänyttä pisintä sivua.

Lisäksi kirjaimilla ei ole kosinilauseessa tai missään muussakaan mitään merkitystä kunhan vain tietää, mitä niillä kirjaimilla tarkoitetaan - Pythagoraan lause voisi ihan hyvin olla vaikka å^2 + ä^2 = ö^2 ja se pitäisi edelleen paikkansa, jos merkittäisiin kateetteja å:lla ja ä:llä ja hypotenuusaa ö:llä. Siis: kirjaimet ovat pelkkiä nimiä matemaattisille otuksille, ja nimi yksistään ei kerro mistään mitään vaan pelkästään auttaa erottamaan erilaiset otukset toisistaan.

Kosinilauseessahan toisella puolella yhtälöä on yhden sivun pituus ja toisella puolella kahden muun sivun pituuden sekä niiden välissä oleva kulma. Sinulla nyt menee merkinnät vähän huonosti (merkitset sekä kulmaa että sivua a:lla), mutta kulma a on sivua a "vastapäätä" oleva kulma.

Isot kiitokset MJR:lle! Näköjään perusasioissakin mulla pieniä puutteita. Mutta kiitos näiden neuvojen ja armottoman yrityksen, sain laskettua laskun oikein.

Laskin oli tämmöinen vanhanmallinen ja siihen kun painoi neliöjuurta ja sen perään tuon muodostuvan lausekkeen, vastauksesta tuli täysin väärä. Onneksi tajusin pitkällisen pohdinnan jälkeen, ett ilmeisesti laskimeni osaa ottaa neliöjuureen vain sen ensimmäisen luvun eikä koko lauseketta. Tämä olkoon varoituksena muille.

Ja laskimen ja tietämättömyyteni lisäksi vielä yksi asia sekoitti päätäni. Yritin katsoa googlesta apua ja löysin tällaisen esimerkin kosinilausekkeen käytöstä (tuo ihan ensimmäinen eli numero 1): http://pooli.isoverkosto.fi/fi/pooli/04_matematiikka/maa/kurssit/maa05/vinokulmainen_kolmio/esim2_kosinilause.htm

Tehtävä on käytännössä täysin sama kuin mitä minulla oli. Tuossa kuitenkin vastaus saatiin siniä käyttämällä. Siis laskimeen merkattiin sin30 eikä suinkaan cos30? Eikös kosinilausekkeessa pitäisi käyttää juurikin kosinia? Ainakin itse sain oikean vastauksen ihan kosinia käyttämällä. Ilmeisesti kyseinen tehtävä eroaa jollakin tavalla omastani (vaikka en mitään eroa löydä) jonka takia ei käytetä kosinia vaan siniä?


Edit: Ero taitaakin olla siinä, että minulla kysytty sivu oli pisin sivu kun taas tuossa ei ole. Onko jotakin yleissääntöä milloin käytetään kosinia ja milloin siniä?

@homer313: Laskin ottaa neliöjuureen pelkästään sen ensimmäisen luvun, mutta jos laitat neliöjuurimerkin perään sulut, niin sitten se ottaa koko sulkujen sisässä olevan höskän. Ja tuo sini taas lienee kirjoitusvirhe, ei siinä näyttäisi olevan hirveästi järkeä... Kosinilause ei nimittäin toimi missään tapauksessa, jos kosinin tilalle iskee sinin (paitsi sillä kulmalla, jolla kosini ja sini saavat saman arvon, mutta se on sivuseikka - sinin käyttäminen tuottaa käytännössä aina väärän tuloksen, kosinin käyttäminen taas poikkeuksetta oikean tuloksen). Sinilause on asia erikseen, mutta se on sen verran erinäköinenkin, että sekaantumisen vaaraa ei ole. Lyhyesti: kosinilauseessa on aina kosini eikä ikinä siniä.

Huomaa myös, että kosinilause toimii riippumatta siitä, mikä on pisin sivu. Kosinilause on aina käyttökelpoinen, kun tiedetään kaksi sivua ja kulma ja pitää ratkaista kolmas sivu tai kun tiedetään kaikki kolme sivua ja pitää ratkaista kulma.

Maanantaina matematiikan uusintatentti, hieman epätoivoinen fiilis kun koko kurssi meni päin metsiä.

Edellinen tentti jos jotakuta etäisesti kiinnostaa.

Kappaleen iskusitkeyttä testaan pudottamalla metallinen iskuri kappaleeseen. Oletetaan,
että pudotus tapahtuu vapaasti kohtisuoraan alaspäin. Kuinka korkealta iskuri tulee pudottaa,
jos sen tulee osua kappaleeseen nopeudella 5,0 m/s? Ilmanvastusta ei tarvitse huomioida
ja putoamiskiihtyvyytenä käytetään arvoa
9,81 m/s2.

Fysiikkaa, mutta kai tämän nyt tänne voi laittaa jos joku osaisi :o

Lainaus:08.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
Kappaleen iskusitkeyttä testaan pudottamalla metallinen iskuri kappaleeseen. Oletetaan,
että pudotus tapahtuu vapaasti kohtisuoraan alaspäin. Kuinka korkealta iskuri tulee pudottaa,
jos sen tulee osua kappaleeseen nopeudella 5,0 m/s? Ilmanvastusta ei tarvitse huomioida
ja putoamiskiihtyvyytenä käytetään arvoa
9,81 m/s2.

Fysiikkaa, mutta kai tämän nyt tänne voi laittaa jos joku osaisi :o

Jotta putoamiskiihtyvyydellä päästään nopeuteen 5,0 m/s, täytyy kappaleen pudota 5 / 9,81 sekuntia, josta tulee noin suunnilleen 0,51 sekuntia. Sitten lasketaan kuinka pitkälle kappale menee kiihdytyyvellä 9,81 m/s^2 ajassa 0,51 sekuntia, joka saatiin kaavalla, joka menee jotenkin että s = 1/2*at^2, josta tulee s = 1/2*9,81*0,51^2 ~ 1,28 metriä (pyöristetyllä t:n arvolla). Jos haluaa tarkan arvon, niin käyttää t:n arvona sitä 5/9,81 s.

Matikka ei ole koskaan ollut lempi aiheeni ja kouluhommat tuntuvat usein siihen kaatuvan...

Nyt kun on taas AMK haku tulossa, ajattelin kysyä täältä neuvoa. Tulevassa AMK kokeessa on siis matematiikka osio, joka todennäköisesti käsittelee perus prosenttilaskuja, jakolaskuja jne. Jekku on siinä, ettei laskinta saa käyttää. Mikä on outoa, kun on jo niin tottunut laskimella hoitamaan laskut jo yläasteelta lähtien.

Kysymys kuuluukin; Että osaisiko joku nopeasti ja selkeästi neuvoa mm. kertolaskujen allekkain laskut ja jakokulman käytön?

Esim. Miten lasket allekkain
34
*125

Esim 2. Miten jaat desimaaleilla?
0,25/145

Kertolasku allekain: kerro ylempi luku jokaisella alemman luvun numerolla niin, että tulot alkavat aina sen alemman numeron kohdalta, jolla ylempää lukua kerrotaan. Sitten plussaa kaikki saadut tulot yhteen allekain niin, miten ne on kirjoitettu (eli jos luku on vasemmalla niin se on yhteenlaskussakin siinä kohdalla, älä siirtele niitä).

Jakokulma: jako (montako kertaa jakaja menee jaettavaan sillä hetkellä, sijoita numero jaettavan ylle vastaukseen) -> kerto (kerro tämä luku jakajalla, ja sijoita tulos samaan sarakkeeseen alas) -> vähennys (vähennä jaettava ja kerrottu luvu keskenään) -> tiputus (pudota erotukseen 1 numero jaettavasta lisää).

Jaksoin jostain syystä laskea nuo annetut laskut paperille. Voit katsoa tuotostani täällä. Siitä saattaa päästä paremmin kärryille, kuin tästä selityksestä, mutta en takaa mitään.

Käänsin esimerkissä tuon kertolaskun toisin päin (ei muuta tulosta, koska kertolasku on vaihdannainen), koska allekain on järkevämpi kertoa, kun pienempi luku on alapuolella.

Selvä juttu! Eiköhän tämäkin taas tästä pienen harjottelun avulla aukene.
Kiitos paljon!

osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

Lainaus:24.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

a/(a^2 - 4) - 1/(a^2 - 2a) + 1/(a^2 + 2a)
= a/(a^2 - 4) - (a^2 + 2a)/(a^4 - 4a^2) + (a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) + (a^2 - 2a - a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - 4a/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - (4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4/a)/(a^2 - 4)
= (1/a)(a^2 - 4)/(a^2 - 4)
= 1/a
Kai tuon olisi voinut nätimminkin tehdä, mutta eihän tuosta tietokoneella tehdessä nättiä saa kuitenkaan.

Lainaus:24.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

Tuossa kokeessa tuo avioparitehtävä oli ihan typerä. Pitää tehdä tollanenkin oletus, että jos mies tykkää veneilystä, niin silloin myös vaimo osaa navigoida... Ja mikähän idea tolla rautatiellä ja golfauksellakin oli, hämäystä?

Lainaus:24.05.2012 Execta kirjoitti:

Lainaus:24.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

Tuossa kokeessa tuo avioparitehtävä oli ihan typerä. Pitää tehdä tollanenkin oletus, että jos mies tykkää veneilystä, niin silloin myös vaimo osaa navigoida... Ja mikähän idea tolla rautatiellä ja golfauksellakin oli, hämäystä?

Ei tuo navigointioletus ihan järjetön ole. Sitä paitsi AMK-opiskelija on käytännön hommissa, ts. osaa olettaa käytännön asioita.

Todista, että funktio x^3+12x-5 on kasvava välillä ?jotakin?

Elikkä tuon kaltainen tehtävä oli matematiikan kokeessa, niin miten tuo todistaminen tapahtuu?

Ei nyt ollut tuo funktio siinä, mutta tajusitte kuitenkin idean.

Kyse siis derivaatasta.

Kiitokset!

Lainaus:28.05.2012 Daux kirjoitti:
Todista, että funktio x^3+12x-5 on kasvava välillä ?jotakin?

Elikkä tuon kaltainen tehtävä oli matematiikan kokeessa, niin miten tuo todistaminen tapahtuu?

Ei nyt ollut tuo funktio siinä, mutta tajusitte kuitenkin idean.

Kyse siis derivaatasta.

Kiitokset!

D(x^3 + 12x - 5) = 3x^2 + 12 > 0
Lukiotason matikassa tuon pitäisi varmaankin riittää osoittamaan funktion kasvavuus. No, luultavasti jotain sanallista olisi myös oltava tukena mutta laskennallisen puolen pitäisi olla tuossa. Eipähän tuo kovin vaikea juttu ole, jos vain ymmärtää derivaatan geometrisen tulkinnan ja yleisestikin ottaen sen tulkinnan, että derivaatta kertoo funktion kasvunopeuden.

Funktio on kasvava jos sen kulmakerroin (derivaatta) on joka kohdassa (tai kysytyllä välillä) positiivinen. Tuosta sun esimerkkilausekkeestasi:

f(x)=x^3+12x-5
f'(x)=3x^2+12

Derivaatta on aina positiivinen, koska x^2 > 0 kaikilla x:n arvoilla. Ja koska f'(x) > 0, funktio on aidosti kasvava.

---

Eli pyrit aina todistamaan, että funktion derivaatta on positiivinen (tai negatiivinen jos puhutaan laskevasta funktiosta) kysytyllä välillä. Aina ei derivaatasta tule noin mukavan näköinen, jolloin todistuksessa pitää mahdollisesti käyttää kulkukaaviota.

e: mjr ehti ^^

Lainaus:24.05.2012 MJR kirjoitti:

Lainaus:24.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

a/(a^2 - 4) - 1/(a^2 - 2a) + 1/(a^2 + 2a)
= a/(a^2 - 4) - (a^2 + 2a)/(a^4 - 4a^2) + (a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) + (a^2 - 2a - a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - 4a/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - (4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4/a)/(a^2 - 4)
= (1/a)(a^2 - 4)/(a^2 - 4)
= 1/a
Kai tuon olisi voinut nätimminkin tehdä, mutta eihän tuosta tietokoneella tehdessä nättiä saa kuitenkaan.

Pystyisitkö vähän avaamaan tota?

Lainaus:30.05.2012 plomo kirjoitti:

Lainaus:24.05.2012 MJR kirjoitti:

Lainaus:24.05.2012 Jack_McHill kirjoitti:
osaako joku ratkaista tuon ekan tehtävän, siskoni lukenut pitkän matikan eikä saanut samaa vastausta..

a/(a^2 - 4) - 1/(a^2 - 2a) + 1/(a^2 + 2a)
= a/(a^2 - 4) - (a^2 + 2a)/(a^4 - 4a^2) + (a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) + (a^2 - 2a - a^2 - 2a)/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - 4a/(a^4 - 4a^2)
= a/(a^2 - 4) - (4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4a / a^2)/(a^2 - 4)
= (a - 4/a)/(a^2 - 4)
= (1/a)(a^2 - 4)/(a^2 - 4)
= 1/a
Kai tuon olisi voinut nätimminkin tehdä, mutta eihän tuosta tietokoneella tehdessä nättiä saa kuitenkaan.

Pystyisitkö vähän avaamaan tota?

Tuo on tehty vaihe vaiheelta, en muistaakseni jättänyt mitään pois. Jos haluat johonkin tiettyyn kohtaan selvennystä, niin kerro mikä kohta. Rumahan tuo on tietokoneella kirjoitettuna ja sille en voi mitään.

Jos voisit kertoa että miten toi ihan ensimmäinen vaihe menee?

Lainaus:30.05.2012 plomo kirjoitti:
Jos voisit kertoa että miten toi ihan ensimmäinen vaihe menee?

Lavensi nuo kaksi oikealla olevaa murtolukua. Toisen (a^2 + 2a):lla ja tuon ihan oikeanpuolimmaisen (a^2 - 2a):lla. Tämä siksi, jotta nimittäjät saadaan samoiksi ja murtoluvut voidaan laskea yhteen. Kun lavennetaan noilla, niin murtoluvun ylä- ja alakertahan kerrotaan tuolla laventajalla. Ja koska nuo murtuluvut oli alunperin muotoa, että ylhäällä oli pelkkä 1, niin kerroitpa sen 1:n millä tahansa luvulla, niin sinne ylös tulee se laventaja (eli millä kerroit, tässä tapauksessa (a^2 + 2a) ja (a^2 - 2a).

Kiitti.Pitäis pääsykokeisiin harjotella laskemista,mutta kone vähän yskii kun ei ole reiluun vuoteen tullu laskettua oikein mitään.

Itse pärjäsin vielä peruskoulussa kohtuullisen hyvin matematiikassa, ysiä todistuksessa. Nyt ensimmäisen lukiovuoden aikana onkin sitten pitkässä matematiikassa tullut kaksi seiskaa ja yksi kuutonen, neloskurssin numeroa odotellaa, varmaan perjantaina saan kokeen takaisin.

Miten osoitetaan, että yhtälöllä on ainakin yksi juuri?
Kyse siis funktion jatkuvuudesta.

Esim. Osoita että yhtälöllä x^5-x^4-2x+1=0 on ainakin yksi juuri.

Kokeessa taisi olla jokin kolmannen asteen yhtälö, mistä piti osoittaa että on vain yksi juuri. Miten tämä tapahtuu?

Lainaus:30.05.2012 Daux kirjoitti:
Miten osoitetaan, että yhtälöllä on ainakin yksi juuri?
Kyse siis funktion jatkuvuudesta.

Esim. Osoita että yhtälöllä x^5-x^4-2x+1=0 on ainakin yksi juuri.

Kokeessa taisi olla jokin kolmannen asteen yhtälö, mistä piti osoittaa että on vain yksi juuri. Miten tämä tapahtuu?

Etsi kaksi pistettä, joissa funktio saa erimerkkiset arvot. Jos jatkuva funktio saa kahdessa eri pisteessä erimerkkiset arvot, niin sillä on näiden pisteiden välissä nollakohta. Graafisestihan tämä tarkoittaa sitä, että jos otat funktion arvot kahdessa eri pisteessä ja ne ovat erimerkkisiä, niin jatkuvan funktion tapauksessa et voi yhdistää näitä pisteitä leikkaamatta x-akselia.

Toiseen kysymykseen: polynomilla on juuria (korkeintaan) astelukunsa verran, se kannattaa pitää mielessä ihan yleisenä tietona, vaikkei juuri tällä kertaa auttaisikaan. Yksi tapa on osoittaa, että funktio on nollakohdan eri puolilla koko ajan joko kasvava tai vähenevä (derivaatan avulla hyvin helppoa, jos on jo opetettu). Miksi tämä toimii, sen graafinen tulkinta on aika yksinkertainen: ei kasvava/vähenevä funktio voi enää kääntyä x-akselia kohti, kun se on siitä päässyt kauemmaksi, koska ei se silloin olisi kasvava/vähenevä.

Toinen tapa voi olla pilkkoa polynomi osiin (jos polynomin yksi juuri on x=a, niin polynomi on jaollinen x-a:lla, ts. f(x)=(x-a)p(x), missä p(x) on jokin astetta alempi polynomi jonka voi laskea vaikkapa jakokulmassa) ja havaita, että jäljelle jäävällä osalla ei ole reaalijuuria. Muuta ei itse asiassa tähän hätään tulekaan mieleen (polynomien tapauksessa).