Nuuskamuikkusen tekemä kuva osoittaa että ei ole väliä onko ne kaarevia. Eli tyhjä ruutu tulee edelleenkin tyhjästä.

Niko: Jos tarkkaan mietit niin huomaat että pinta-ala vähenee alemmassa kuviossa yhdellä, vaikka käytetään samoja paloja.

Niin, koska se vihreä ja keltainen pala eivät ole symmetrisiä. Jos molemmissa paloissa sen "ulokkeen" pituus olisi 2,5 ruutua, niin sitten menisi tasan (myös pinta-ala).

Mutta kuka sitä pinta-alaa kysyi? Tai hypotenuusan suoruutta? Kysymys oli siitä, mistä se kolo tulee.

Tässä esimerkkinä yksi tapa, jolla huomata tehtävän järjettömyys:

Piirtäkääpä ensin iso suorakulmainen kolmio: 13 cm x 5 cm. Sen jälkeen pienemmät kolmiot viivojen sisään mitoilla 5x2 ja 8x3 (yläosaan siis pieni kolmio ja alaosaan suurempi). Tässä vaiheessa saatte huomata, ettei kolmiot täytä tarkasti niille varattua tilaa, eikä pienempien kolmioiden sivuja saa millään tasaluvuille kuten alkuperäisessä kuvassa näyttäisi. Näin niille kahdelle lopulle palikalle jäävä pinta-ala ei ole tasan 15 neliösenttiä.

Kyllä se koveruus/kuperuus on ihan hyvin havaittavissa kun katsoo alemman kuvan vihreän kolmion yläkulmaa ja vertaa sitä sitten ylemmän kuvion samaan kohtaan. Ei ole viivat ihan samoissa kohdissa...

Eikä kyllä mikään muukaan mutta tuosta se on helppo huomata.

Niko, säähän pöhkö olet. Ei tässä olekkaan siitä kyse että palat eivät nyt satu olemaan symmetrisiä. Se kolohan juuri merkitsee sitä että pinta-ala on pienentynyt yhdellä. Miten se on mahdollista kun sama kuvio muodostetaan samoista paloista.

Oli siinä sitten kuperat tai ei niin vaikka se olisikin täysin suorassa, ei se vaikuttaisi lopputulokseen mitenkään.

Teepäs, migge, näin, että unohdat ne kolmion muotoiset palat, ja keskityt vain siihen vaalean vihreään ja keltaiseen palaan. Yläkuvassa ne vaativat (päällekkäin olleessaan) yht. 15 ruutua tilaa, eikö? Laskepas vastaavat ruudut alakuvassa. 15 taas, eikö totta? Erona on vain se kolo, joka johtuu niiden "ulokkeiden" pituuserosta.

Sepä se. Eihän sellaista koloa muuten saisikaan, mutta juju ei olekkaan siinä.

Missäs sitten? Miten sen muuten toteaisi? Samat palat (ja sama pinta-ala...)

Kolmio joka syntyy ulokkeiden pituuserosta, saadaan näkyviin koska iso kolmio ei ole kolmio alkuunkaan. Jos se olis kolmio, punainen ja vihreä kolmio olisvat yhdenmuotoiset, eli sivujen pittuksien suhde on oltava sama, 2/3=5/8, josta saadaan 16=15, joten yhtälö on epätosi ja kolmiot eivät ole yhdenmuotoiset. Vaikka ison kolmion pinta-ala näyttääkin alemmassa kuvassa pienemmältä loven takia, on lovi myös ylemmässä kuvassa ison "kolmion" "hypotenuusassa" ja kolmioiden pinta-ala on kummassakin sama.

Niin samat palat sama pinta-ala.. Vai onko..?

Lasketaan:
koko kolmio:
(13x5)/2=32,5(pay)
Ylemmän kolmion ala on siis 32,5 ja alemman yksi vähemmän eli 31,5, vaikka palat ovat samat.

Dj on oikeassa. Yhdenmuotoisuus ei käy, joten se yksi ruutu piiloutuu hyvin siihen kuuluisaan "kaareen".

DUH. Luishan totesi jo ensimmäisellä sivulla, ettei kyseessä ole kolmio.
Sama kävi ilmi Daedaluksen viestistäkin.
Ja Hutimutin...
Ja Silppurin...
Ja...

Lainaus:03.06.2003 ilu kirjoitti:
Kokeilkaapas piirtää toi sama vaikkapa ruutupaperille (helpottaa) mahdollisimman tarkalla kynällä. Siitä huomaa, että noi palikat ei osu kohalleen täysin. Ja toisessa noista on vähän erikokoiset noi kolmiopalat.

Ei siinä mitään taikuutta ole... sentään.

Toi on vielä niin paksulla viivalla piirretty, että se näyttää 'oikealta'. Ohuemmalla viivalla piirtäessä tota ei saa tehtyä noin. Ne palat ei täsmää. Noiden monikulmioidenkaan koot ei täsmää.

Ja näin se on.

Tein saman, ja yllätyin

Lainaus:03.06.2003 Nikodemus kirjoitti:
DUH. Luishan totesi jo ensimmäisellä sivulla, ettei kyseessä ole kolmio.
Sama kävi ilmi Daedaluksen viestistäkin.

Niin, mutta yhdenmuotoisuus teoria on uskottavampi ja loogisempi kuin silmin vertaaminen.

Todistin siis matemaattisesti ison kolmion olevan neliö, joten lasku "kanta kertaa korkeus jaettuna kahdella" ei anna oikeaa tulosta. Luottakaa numeroihin älkää silmiinne.

Niin, matemaattinen todistus on aina uskottavin. Hyvin tuo kuitenkin huijaa silmää. Kyllä ne muuten voivat olla kolmioita, jos annetaan kulmien olla eri suuria.

Viivat eivät ole käyriä. Piirsin Paintilla kökön esimerkin, jossa kulmia on liioiteltu, mutta tuohon se perustuu. Komioiden palat on kopioitu toisistaan.

http://www.phnet.fi/public/uusikoski/kolmiot.gif

*Edit: äh, antaa olla. Poistakaa tämä.

Lainaus:03.06.2003 Forneus kirjoitti:
Wyo, Silppuri ja ludde ovat kaikki oikeassa (+ Forneus).

Me viisaat!

Siis... tulostimme nuo kaksi kuvaa paperille ja mittasimme kulmat... ne olivat eri suuruiset.

Pitää tehä selvennys edelliseen viestiini.

Elikkäs: jos oletetaan, että noi kolmiot ovat suorakulmaisia niin yhden kolmion kokonaispinta-ala on 32,5 yks. Mutta kun laskee noiden palikoiden pinta-alat erikseen ja laskee ne yhteen saadaan vain 32 yks. -> Kuva ei pidä paikkaansa.

Eli molemmissa kuvissa kolmion pinta-alasta puuttu 0,5 pinta-alan yks.

Noi paksut reunaviivat sotkee kuvaa sen verran, että se näyttää oikealta.

Lainaus:03.06.2003 ludde kirjoitti:
Me viisaat!

Forneus kiittää ja kumartaa Ranskan kuningashuonetta!

Oikea vastaus on tullut jo moneen kertaan, mutta kukaan ei sitä ymmärrä, joten koitetaan vielä kerran.

Kuviot EIVÄT ole kolmiota, vaikka niin aluksi voisi luulla. Ne ovat nelikulmiota. Tämän voi todistaa helposti, kun laskee punaisen ja tumman vihreän kolmion hypotenuusien (kolmion pisin sivu) kulmakertoimet (kulmakerroin kertoo suoran jyrkkyyden). Kulmakerroin määritellään seuraavasti:

y:n muutos jaettuna x:n muutoksella

Eli toisin sanoen pystysuora muutos jaettuna vaakasuoralla muutoksella.

Lasketaan kahden kolmionmuotoisen palikan kulmakertoimet. Punaisen kolmion hypotenuusan kulmakerroin on 3/8 ja tumman vihreän komion hypotenuusan kulmakerroin on vastaavasti 2/5. Jotta lukuja voitaisiin verrata keskenään lavennetaan ne saman nimisiksi. Lavennetaan punaisen kolmion hypotenuusaan kulmakerrointa 5:llä, jolloin kulmakertoimeksi saadaan 15/40, joka on aivan sama luku kuin aiemmin saatu 3/8. Jos et usko, katso laskimesta. Vastaavasti lavennetaan vihreän kolmion hypotenuusan kulmakerrointa 8:lla, jolloin siitä saadaan 16/40. Nyt kun luvut ovat "samannimisiä" (molemmat ovat jotain/40), niitä voidaan verrata keskenään.

Huomataan, että vihreän kolmion hypotenuusan kulmkerroin on suurempi, kuin punaisen, tosin ero on pieni. Näin ollen vihreän kolmion hypotenuusa nousee jyrkemmin, kuin punaisen. Tämän voit myös todeta katsomalla kuviota viivoittimen avulla, jolloin huomaat, että viiva ei ole aivan suora.

Tässä vaiheessa esitetään kysymys. Kuinka yksi suora voi olla kahta eri "kaltevuusastetta"? Ei se voikkaan, jotenka kyseinen palikkarakennelma on nelikulmio, jonka neljäs kulma on pitkällä sivulla punaisen ja tummanvihreän palikan välissä.

Tässäkohtaa käytän apuna Wyo:n piirrustusta.
koti.mbnet.fi/wyo/wyomingin_teoria.png

Eli ensimmäinen nelikulmio on neljännen (pitkälläsivulla olevan) kulman kohdalta taittunut hivenen sisään päin, kuten Wyo:n kuvassa näkyy korostetusti. Vastaavasti alemmassa kuvassa kulma on taittunut hivenen ulospäin.

Palikoiden pinta-ala pysyy muuttumattomana. Näin ollen kun yhdestä kulmasta lisätään kuvion pinta-alaa, menetetään sama pinta-ala toisaalta. Tässä tapauksessa pinta-alaa poistuu yhden ruudun verran. Tätä pinta-alan "siirtoa" voit kokeilla esimerkiksi narulla, joka ei veny. Viritä naru vaikka neliön muotoon. Kun vedät yhdestä sivusta narua, jokin muu sivu pienenee, sillä naru ei pitene eikä lyhene. Toinen esimerkki on vaikka kylpyämme. Täytä amme piripintaan vedellä ja laita sinne jokin esine. Eikös nyt vettä valu ammeen reunojen yli? Yli vuotavan veden tilavuus on sama, kuin kappaleen. Kun otat kappaleen pois ammeesta, vedenpinta ei ole enää aivan piripinnassa. Sama on tässä pinta-alan kohdalla. Koska se pysyy vakiona ja sitä lisätään toisaalle, on sama määrä pinta-alaa "menetettävä" toisaalta.

Ja tämä "todistus" saattaa mennä joidenkin kohdalla ehkä hivenen "yli", mutta viimeistään lukion pitkällä matematiikalla tuon tajuatte. Voi olla myös, että sama asia (kulmakerroin) käydään myös lyhyellä matikalla (palikkamatikka :) Tätä en tiedä, koska itse luin pitkän matematiikan.

EDIT: On hyvä huomata, että graafisia keinoja käyttämällä ei päästä yhtä tarkkaan lopputulokseen, kuin numeerisesti laskemalla.

Tota kulmien suuruutta ei tarvii todistaa matemaattisesti, koska sen näkee silmällä. Tulostakaa toi kuva paperille ja sit katotte sielt paperin sivusta yhdellä silmällä isojen kolmioiden hypotenuusoja pitkin, ni sen näkee silmällä, et toinen on kupera ja toine kovera.